方法与例题总汇

§2.7 不定型的极限 · p146 例2

求 lim(x→a) (x^α − a^α)/(x^β − a^β)（a>0, β≠0）

0/0 型，洛必达一次即得：αx^{α−1}/βx^{β−1} → (α/β)·a^{α−β}。参数题记住最终形式，选择填空直接秒答。

§2.7 · p146 例3

求 lim(x→0) (eˣ − e^{−x} − 2x)/(x − sin x)

0/0 型，连续使用三次洛必达得 2。考场加速：分母 x−sinx ~ x³/6，分子泰勒 eˣ−e^{−x}−2x = x³/3+…，两者相比 = (x³/3)/(x³/6) = 2。

§2.7 · p146 例5

求 lim(x→∞) (π/2 − arctan x)/(1/x)

0/0 型（写成 1/x 作分母），洛必达一次：(−1/(1+x²))/(−1/x²) = x²/(1+x²) → 1。arctan 在无穷处的差式是高频考点。

§3.8 定积分的几何应用 · p279 例6

底面半径为 R 的圆柱，被过柱底中心且与底面成角 α 的平面截去一块，求截下小块的体积。

截面法：距中心 x 处薄片的底宽 2√(R²−x²)、高 x·tan α，微元 dV = 2x·tan α·√(R²−x²)dx，积分得 V = (2/3)R³tan α。这是「平行截面面积已知求体积」的标准范例。

§4.2 一阶微分方程 · p301 例1

求 dy/dx = 2xy 的通解

可分离变量：dy/y = 2x dx（y≠0），积分得 ln|y| = x² + C₁，通解 y = Ce^{x²}；y=0 也满足方程，含于 C=0 中。三步套路：分离→积分→合并常数。

§2.2 行列式的性质与计算 · p60 例10

A=[[1,2,4],[0,−2,7],[0,0,3]]，B=[[4,9,5],[0,1,7],[0,0,−2]]，求 det(ABᵀ)、det(2A)、det(A⁻¹)。

三角阵直接算：|A|=−6，|B|=−8。det(ABᵀ)=|A||B| = 48；det(2A)=2³·|A| = −48；det(A⁻¹)=1/|A| = −1/6。一题串起三条行列式公式，考试同型题必出。

§4.4 线性方程组解的结构 · p137 定理6（大题理论核心）

设 γ₀ 是 AX=b 的一个特解，ξ 是导出组 AX=0 的任意解，则 AX=b 的任意解可表示为 γ = γ₀ + ξ。

配套结论：①两解之差 γ₁−γ₂ 是 AX=0 的解；②解组合 Σcᵢηᵢ 是 AX=b 的解 ⇔ Σcᵢ=1。考试中「求通解/证结构」的证明题全部由此展开。

§5.2 矩阵的相似对角化 · p159 定理1 + 例1

相似矩阵特征值相同（定理1）；若 A = PΛP⁻¹，求 Aᵏ。

Aᵏ = PΛᵏP⁻¹，其中 Λᵏ = diag(λ₁ᵏ,…,λₙᵏ)。求高次幂的标准路线：先找 P 使 A 对角化（实对称矩阵用正交矩阵最稳）。

§6.1 实二次型及其标准形 · p189 例4

f(x₁,x₂,x₃) = x₁² + ax₂² + x₃² + 2x₁x₂ − 2x₁x₃ − 2ax₂x₃ 的正、负惯性指数均为 1，求规范形及 a。

正负惯性指数各 1 ⇒ 秩 r(A)=2，规范形 y₁² − y₂²。由 |A| = −(a−1)²(a+2) = 0 得 a=1 或 −2；a=1 时 r(A)=1 与其矛盾，故 a = −2。惯性指数题的标准两板斧：秩定个数、行列式定参数。